Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN. Đề cương bao gồm phần lý thuyết chi tiết và bài tập có đáp án giúp các bạn học sinh ôn luyện và củng cố thêm kiến thức để chuẩn bị cho Kì thi vào 10. Để làm tốt tất cả các dạng bài tập đánh giá cấp độ một, bạn phải có kiến thức tốt về toán học cấp ba. do đó, chúng tôi đã biên soạn 10 đánh giá giải tích toàn diện nhất bao gồm các phương pháp đánh giá cơ bản và nâng cao mà chúng tôi thường sử dụng để Bất đẳng thức lớp 10 nâng cao admin 25/04/2022 Trong lịch trình học THPT họ sẽ chạm mặt rất các dạng việc về bất đẳng thức từ cải thiện đến cơ bản. Tài liệu bất đẳng thức lớp 10 gồm 301 trang với các bài tập chứng mình bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, Như các em đã biết, bất đẳng thức là một chuyên đề khó trong môn toán học, đặc biệt là toán trung học phổ thông I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. – Hệ bất phương trình ẩn x gồm hai hoặc nhiều bất phương trình ẩn x mà nhiệm vụ của ta là phải tìm nghiệm hoặc tập nghiệm chung của chúng. – Mỗi giá trị của x đồng thời cũng là nghiệm của tất cả các bất phương trình Vay Tiền Nhanh. Tài liệu gồm 98 trang, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Đại số 10 chương 4 Toán 10.1. BẤT ĐẲNG THỨC I. Tóm tắt lí thuyết. 1. Các khái niệm. 2. Tính chất. II. Các dạng toán. Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương. Dạng 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Dạng 4. Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả. Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc – tơ. Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN I. Tóm tắt lí thuyết. 1. Giải và biện luận bất phương trình ax + b > 0. 2. Giải và biện luận bất phương trình ax + b ≤ 0. II. Các dạng toán. Dạng 1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 2. Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước. Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 5. Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 6. Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I. Tóm tắt lí thuyết. 1. Nhị thức bậc nhất. 2. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. 3. Các ví dụ minh họa. II. Các dạng toán. Dạng 1. Xét dấu tích – thương các nhị thức bậc nhất. Dạng 2. Xét dấu nhị thức có chứa tham số. Dạng 3. Giải bất phương trình tích. Dạng 4. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. Dạng 5. Giải bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Tóm tắt lí thuyết. 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. II. Các dạng toán. Dạng 1. Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 3. Các bài toán thực DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I. Tóm tắt lí thuyết. 1. Tam thức bậc hai. 2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai. 3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai. 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn. II. Các dạng toán. Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai. Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu. Dạng 3. Giải bất phương trình bậc hai. Dạng 4. Bài toán có chứa tham ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV I. Đề số 1a. II. Đề số 1b. III. Đề số 2a. IV. Đề số 2b. V. Đề số 3a. VI. Đề số 3b. VII. Đề số 4a. VIII. Đề số 4b. Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án Đại số lớp 10 nâng cao - Chương 4 Bất đẳng thức và bất phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênChương 4 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Tiết 40. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ngày soạn Ngày dạy I Mục tiêu Qua bài học học sinh cần nắm được 1 Về kiến thức Học sinh nắm được Các tính chất của bất đẳng thức, phương pháp chứng minh các bất đẳng thức ; các tính chất của bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối; các phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất; Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân các số không âm 2 Về kĩ năng - Thành thạo các bước biến đổi để đưa về một bất đẳng thức đúng tương đương. - Ứng dụng được các tính chất của bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để CM các BĐT. - Thành thạo các bước biến đổi để đưa về một bất đẳng thức đúng tương đương. - Ứng dụng được các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh các bất đẳng thức. - Sử dung được các tính chất của bđt để so sánh các số mà không cần tính toán. 3 Về tư duy - Rèn luyện tư duy linh hoạt trong làm toán. - Biết quy lạ về quen. 4 Về thái độ - Cẩn thận, chính xác. - Biết ứng dụng toán học trong thực tiễn. II Phương tiện dạy học 1 Phương tiện dạy học - Chuẩn bị phiếu học tập hoặc các bảng con cho các nhóm. - Chuẩn bị bảng phụ Bảng phụ 1 a > b và c > d Þ a + c ? b + d a + c > b Û a ? b – c a > b ³ 0 và c > d ³ 0 Þ ac ? bd a > b ³ 0 và nÎ N* Þ an ? bn a > b ³ 0 a > b 2 Phương pháp - Gợi mở vấn đáp. - Hoạt động theo nhóm. III Tiến trình bài học và các hoạt động. Các hoạt động Hoạt động 1Dạy học Định nghĩa bất đẳng thức HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng - Cho hai số thực a, b có các khả năng nào xảy ra ? - Các nhóm trả lời vào bảng I Bất đẳng thức và các tính chất 1 Định nghĩa Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề ”a > b”, “a b Û a – b > 0 +Nhắc lại các tính chất đã học ở lớp dưới ? -Các nhóm nhớ lại và ghi trả lời vào bảng 2 Các tính chất + + + + +Treo bảng phụ số 1 - Suy nghĩ và trả lời. 3 Hệ quả a > b và c > d Þ a + c > b + d a + c > b Û a > b – c a > b ³ 0 và c > d ³ 0 Þ ac > bd a > b ³ 0 và nÎ N* Þ an > bn a > b ³ 0 a > b +HD sử dụng HQ 4 + Hoạt động nhóm Bình phương các số và so sánh Ví dụ 1 So sánh hai số và 3 Giải Giả sử £ 3 Û 2 £ 9 Û 5+2 £ 9 Û £ 2 Û 6 £ 4 vô lí Vậy > 3 +Cho các nhóm thực hiện trao đổi. +Gợi ý Dựa vào các tính chất và hệ quả ở trên. +Các nhóm trao đổi sau đó cử đại diện lên trình bày. Ví dụ 2 CMR nếu a > b > 0 thì Giải Ta có luôn đúng Ví dụ 3 CMR a2 + ab + b2 ³ 0 , "a,b Î R Giải a2 + ab + b2 = a + 2 + ³ 0 "a,b Î R Ví dụ 4 CMR nếu a,b,c là ba cạnh của tam giác thì a2 0 và a 0 Giải Ta có x2 - 2x +3 = x – 12 + 2 > 0 * Lưu ý Nếu bất đẳng thức có chứa biến thì ta hiểu bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến. Hoạt động 2 Dạy - học bất đẳng thức về GTTĐ.. HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng +Hãy nhắc lại định nghĩa về GTTĐ? +Từ đó nhận xét gì về quan hệ giữa a, ? +Khi nào a? +CM ? +HD HS thực hiện HĐ1 +HS trả lời. +HS trả lời. +HS trả lời. +HS trả lời. +HS thực hiện HĐ1 II/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối + Định nghĩa + Tính chất a ,"aÎR b với a > 0 c hoặc với d CM Ta có . Thật vậy ó ó ó ab Hiển nhiên đúng áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và -b ta có ó Tóm lại - Giáo viên nhận xét, đánh giá và hướng dẫn cách làm bài C1 1 + a 1 - a2 = 1+a 2 1 – a C2 1 + a ³ 0 và 1 – a2 ³ 0 +Gợi ýDựa vào bất dẳng thức chứa GTTĐ. + Các nhóm suy nghĩ và giải vào bảng con - Chọn một học sinh của một nhóm lên bảng trình bày VD1 CMR nếu thì 1 + a 1 - a2 £ 0 Giải Ta có nên đpcm VD2Chứng minh rằng với mọi ta có VD3Tìm GTLN – GTNN của hàm số fx = Hoạt động cố dặn dò. Phát bảng phụ cho các nhóm thực hiện Bảng 1 Tìm phương án đúng ? Câu 1 khi và chỉ khi A/ x 4 D/ cả A,B,C đều sai Câu 2 x2 b Û a-c >b-c B a > b Û > C ac > bc Û a >b D a > b Û E a > b Û F a > b Û a2 > b2 Câu 2 Chứng minh rằng nếu a ³ b ³ 0 thì Củng cố dặn dò Qua bài học cần nắm được Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi tương đương ? Nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng ppbđ không tương đương để chứng minh BĐT ? BTVN Các bài tập trong SGK. Tiết 41. Hoạt động 1Kiểm tra bài cũ Định nghĩa bất đẳng thức? Chứng minh Với a > 0, b > 0 chứng minh HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng +Ta đã biết thế nào là trung bình cộng 2 số,thế nào là trung bình nhân của 2 dẫn dắt vào định lí. +Hãy pb bằng lời? +HD HS thực hiện HĐ2 SGK +HS theo dõi GV giảng và kết hợp xem SGK. +HS trả lời +HS trao đổi và thực hiện HĐ2 đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. với 2 số không âm. Định lý ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b CM +HĐ +Cho HS trao đổi theo bàn. +Gọi 2 HS lên bảng giải bài. +HS trao đổi và giải bài. Ví dụ 1 chứng minh Ta đã biết là bất đẳng thức đúng đpcm Ví dụ 2 a > 0, b > 0 chứng minh +NX gì về VT của BĐT cần CM? +Theo CMT ta có kết quả gì? +HS trả lời. +HS trả lời. Ví dụ 3 a > 0, b > 0, c > 0, chứng minh Giải VT = Ta có CM trên CMTT và đpcm Đẳng thức xảy ra khi a = b = c +Hai số dương thay đổi - có tổng không đổi ,nhận xét gì về tích của chúng? +Hai số dương thay đổi ,có tích không đổi nhận xét gì về tổng của chúng. * Hình chữ nhật có chu vi 2p không đổi, diện tích lớn nhất khi nào? * Hình chữ nhật có diện tích không đổi, chu vi bé nhất khi nào? +HS trả lời. +HS trả lời. * Hai kích thước bằng nhau Đó là hv * Khi 2 kích thước bằng nhau +Hệ quả * Hai số dương thay đổi - có tổng không đổi - tích lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau. * Hai số dương thay đổi - có tích không đổi có tổng bé nhất khi 2 số đó bằng nhau +Ứng dụng * Hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất * Hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất +Với x > 0 có nhận xét gì về tích các số hạng trong hàm số? +HD HS trình bày bài. +Với điều kiện đã cho, có NX gì về tích các số hạng của fx? +HD HS trình bày bài. +HS trả lời +HS trả lời. VD4 Tìm GTNN của hàm số fx = 2x + với x > 0 Giải Vì x > 0 nên ta có Vậy GTNN của fx bằng khi VD5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số fx = x - 24 – x với Giải Với ta có Suy ra fx = x - 24 – x Vậy GTLN của fx bằng 1 khi x – 2 = 4 – x Ta có fx = x - 24 – x Nên GTNN của fx bằng 0 khi x = 2 hoặc x = 4 +Với 3 số , ta có bất đẳng thức tương tự như với 2 số a, b. +HS nghe hiểu bài b Đối với 3 số không âm Đẳng thức xảy ra khi a = b = c +Với 3 số a, b, c dương ta có bất đẳng thức nào? + Với 3 số dương ta có bất đẳng thức nào? +HD HS thực hiện HĐ 3 +HS trả lời. +HS trả lời +Thực hiện HĐ3 Ví dụ 6 a > 0, b > 0, c > 0, chứng minh Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có đẳng thức xảy ra khi a = b = c đpcm HĐ3 -Nếu 3 số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi 3 số bằng nhau. -Nếu 3 số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi 3 số bằng nhau. Hoạt động 4. Củng cố - dặn dò Nắm chắc bất đẳng thức côsi và các hệ quả của nó. BTVN Các bài tập trong SGK. kinh nghiệm Tiết 42. 43 LUYỆN TẬP BẤT ĐẲNG THỨCTiết 1 Ngày soạn Ngày dạy đích, yêu cầu 1. Kiến thức CM 1 số bất đẳng thức đơn giản và tìm được GTLN, GTNN của 1 hàm số hoặc 1 biểu dụng BĐT côsi vào bài toán CM các BĐt khác và tìm GTLN, GTNN của hàm số, của biểu thức. năng Vận dụng các bất đẳng thức đã học vào giải các các bài tập, và ứng dụng vào các bài toán thực thực cách vận dụng BĐT côsi vào các bài toán có liên quan. duy Thấy được sự liên quan của BDT Cauchy và hình học, ứng dụng của nó trong việc đánh giá các số. 4. Thái độ Nghiêm túc, tích cực trong công động, tích cực, biết liên hệ bài đã học vào thực tế. chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Thực tiễn Học sinh đã được học về cách CM BĐT pháp dạy học Gợi mở giải quyết vấn đề đan xen họat động nhóm. III. Tiến trình bài học và các hoạt động Hoạt động 1 BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng +Nêu cách CM? +Đây gọi là BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki +Gợi ýAD kết quả trên +Mở rộng cho bộ ba số ta có kết quả như thế nào? +Dùng PP biến đổi tương đương. +HS CM +HS trả lời. Bài 1CMR Với 4 số thực a,b,c,d ta luôn có ac + bd2 £a2 + b2c2 + d2. Đẳng thức xảy ra khi Áp dụng CMR x, y là 2 số thực thỏa x2 + y2 = 1 thì 4x – 3y = 15 thì x2 + y2 Giải Ta có ac + bd2 £a2 + b2c2 + d2 ADa. Áp dụng bđt BCS với 2 bộ số 1,1 và x, y ta được = 2 Ûïx+yï£ Û -£ x + y £ có +Mở rộng BĐT BCS với bộ 3 số thực bkì a1, a2, a3 và b1, b2, b3 , ta có a1b1+a2b2+a3b32£a12+a22+a32b12+b22+b32 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Hoạt động 2 Chữa bài 7b 8, 9, 10 SGK / 110. HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng +Nêu PP giải bài? +Gọi HS trình bày. +HS trả lời +HS trình bày. Bài 7b / 110 SGK. +a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác ta có tính chất gì? +Gọi HS giải bài. +HS trả lời +HS giải bài. Bài 8 / 110 SGK. Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên vai trò của a, b, c như nhau, ta giả sử Khi đó Tương tự a2 + c2 0, " x ¹ , = 0. * D > 0 fx có hai nghiệm phân biệt x1 0 rồi xét dấu a và kết luận. 79. Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm. Ta có , nên hệ bpt I có nghiệm Û . 81. Giải và biện luận các Bpt a/ Ta có 3 Û . * Nếu thì . * Nếu thì *Nếu thì 3 Û 0x > 2 nên . b/ Ta có * Nếu thì * Nếu thì Hoạt động III Làm bài tập trắc nghiệm Từ bài 87 đến 89/ 156-157. Đs 10 NC. HĐ của GV HĐ của HS NỘI DUNG GHI BẢNG GV lần lượt nêu từng câu hỏi và gọi hs trả lời. 87a/ C ; 87b/ B ; 87c/ D. 88a/ A ; 88b/ B ; 88c/ C. 89a/ C ; 89b/ B ; 89c/ D. 87a/ C ; 87b/ B ; 87c/ D. 88a/ A ; 88b/ B ; 88c/ C. 89a/ C ; 89b/ B ; 89c/ D. Hoạt động IV Củng cố * Dấu của nhị thức và tam thức bậc hai. * PP giải bpt bậc nhất và bậc hai, Giải và biện luận Bpt có dạng bậc nhất, bậc hai. * PP giải hệ bpt bậc nhất một ẩn. * Pp giải PT và BPt quy về bậc hai. KIỂM TRA 1 TIẾT. Ngày soạn Ngày kiểm tra tiêu 1. Kiến thức kiểm tra toàn bộ kiến thức của chương phương trình, bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai, các phương trình và bất phương trình quy về phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai. 2. kĩ năng Kiểm tra kĩ năng giải các bài tập Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ bất phương trình bậc hai, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm... 3. Thái độ , tư duy Chủ động, tích cực ôn tập và làm bài kiểm tra tốt. II. Chuẩn bị GV ra đề và thang điểm, dấp án. HS Ôn tập toàn bộ các dạng bài GV đã hướng dẫn. III. Nội dung ĐỀ CHẴN ĐỀ LẺ Câu 12 điểm Giải phương trình Câu 24 điểm Giải các bất phương trình a. b. Câu 32 điểm. Tìm m để phương trình m – 1x2 + 2mx – 3m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt Câu 42 điểm. Tìm m để bất phương trình x2 + 2mx + 3m – 2 > 0 có nghiệm đúng với mọi x > 1 Câu 12 điểm Giải phương trình Câu 24 điểm Giải các bất phương trình a. b. Câu 32 điểm. Tìm m để phương trình m + 2x2 + 2mx – 2m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt Câu 42 điểm. Tìm m để bất phương trình x2 + 2mx – 5m – 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi x > 2 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM. Điểm ĐỀ CHẴN ĐỀ LẺ Câu 1 2 đ Câu 2 4 đ a. đkxđ x Đối chiếu đk Tập nghiệm của bpt là S = [ Tập nghiệm của bpt là S = - 2; 2 Đkxđ x 1 Đối chiếu đk Tập ngh của bpt là S = [1; b. Tập nghiệm của bpt là S = Câu 3 2đ Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì Câu4 2 đ Xét tam thức fx = x2 + 2mx + 3m – 2 có hệ số a = 1 > 0 và = m2 – 3m + 2 -Nếu 0 với mọi x. Tập nghiệm của bpt là S = RTM -Nếu = 0 m = 2 hoặc m = 1. Với m = 2 thì fx > 0 với mọi x – 2. Tập nghiệm của bpt là S = R\{- 2} tm Với m = 1 thì fx > 0 với mọi x – 1. Tập nghiệm của bpt là S = R\{- 1} tm -Nếu > 0 m > 2 hoặc m 1 thì Kết hợp điều kiện ta có Vậy thì bpt có nghiệm đúng với mọi x > 1. Xét tam thức fx = x2 + 2mx – 5m – 4 có hệ số a = 1 > 0 và = m2 + 5m + 4 -Nếu 0 với mọi x. Tập nghiệm của bpt là S = RTM -Nếu = 0 m = - 1 hoặc m = - 4. Với m = - 1 thì fx > 0 với mọi x 1. Tập nghiệm của bpt là S = R\{ 1} tm Với m = - 4 thì fx > 0 với mọi x 4. Tập nghiệm của bpt là S = R\{4} loại -Nếu > 0 m > - 1 hoặc m 2 thì Kết hợp điều kiện ta có Vậy – 4 2. xin gửi đến bạn đọc tài liệu Một số bất đẳng thức nâng cao của tác giả Nguyễn Vũ Thanh - THPT chuyên Tiền Giang. Mục tiêu của tài liệu này là nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như Bất đẳng thức Côsi mở rộng, Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng, Bất đẳng thức Jensen, Bất đẳng thức Tsêbưsep, Bất đẳng thức Schwarz,... .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới. Chuyên đề này nhằm giúp cho học sinh giỏi có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Bất đẳng thức và đạo hàm. Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV Tsêbưsep Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ SVACXO Chương VII MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐẲNG THỨC Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thức là phần chứng minh và các bài tập áp dụng. Tải tại đây. THEO Bài tập về bất đẳng thức dùng được Danh mục Tư liệu khác ... Trần Nhân Tông - Hà NộiMột số bài tập về chứng minh bất đẳng thức Dùng để ôn thi đại học Bài 1 Cho x, y, z là các số tùy ý CMR 222222zyzyzxzxyxyx++≥+++++ Bài 2 Cho a, b, c là các số ... abccba+≥+++++13111111333 Bài 8 Nếu x; y là hai số tùy ý thỏa mãn 0≥+yx Thì yxyx++≥+++212411411 Bài 9 Cho a; b; c là 3 số khác 0 CMR accbbaaccbba++≥++222222 Bài 10 Cho ... cbazyx111111++>++ Bài 5 Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn 311111111≥+++++++dcba CMR 81≤abcd Bài 6 Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc [ ]1;0 CMR accbbacba2222221+++≤++ Bài... 2 5,091 85 bai tap ve bat dang thuc cosi Danh mục Toán học ... CMR 12. Cho hai số thực , thay đổi và thỏa mãn điều kiện.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 13. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của14.. Tìm giá trị nhỏ nhất của15. Cho 3 số dương . Chứng... 2 9,271 158 Bài tập về bất đẳng thức Danh mục Tư liệu khác ... là một bất đẳng thức Quy ước • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức ... d D =112++xxIV .Bất đẳng thức về trị tuyệt đối Bài 1 Cho 10 =++zyx CMR 4321++zyx Bài 2 CMR ababbababa++++++1111222 Bài tập thêm Bài 1 Cho a,b,c > 0 ... sốVí dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức sinx 0Ví dụ 2 Chứng minh bất đẳng thức 21cos2xx−> với mọi x > 0 Ví dụ 3 Chứng minh bất đẳng thức xtgxx 2sin>+... 10 2,765 31 Gián án Bài tập về Bất đẳng thức Danh mục Tư liệu khác ... Trần Nhân Tông - Hà NộiMột số bài tập về chứng minh bất đẳng thức Dùng để ôn thi đại học Bài 1 Cho x, y, z là các số tùy ý CMR 222222zyzyzxzxyxyx++≥+++++ Bài 2 Cho a, b, c là các số ... abccba+≥+++++13111111333 Bài 8 Nếu x; y là hai số tùy ý thỏa mãn 0≥+yx Thì yxyx++≥+++212411411 Bài 9 Cho a; b; c là 3 số khác 0 CMR accbbaaccbba++≥++222222 Bài 10 Cho ... cbazyx111111++>++ Bài 5 Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn 311111111≥+++++++dcba CMR 81≤abcd Bài 6 Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc [ ]1;0 CMR accbbacba2222221+++≤++ Bài... 2 2,047 20 Tài liệu Các bài tập về Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất nhỏ nhất doc Danh mục Cao đẳng - Đại học ... c 3+ + =CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng 32 2 2a b c 10 abcc a b9 a b c+ + + ≥+ + Bài 2 . Cho a,b,c ... QUẾ VÕ 1 – ĐT 0976566882 Bài 38 . 32 2x y 1 x y 5x xy 4 y xy 4 12+ + + + =+ + + + + = Bài 39 . 10 10 4 4x yxyy xx y 8x y+ =+ = Bài 40. 2323x 1 y 6 ... mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008 2008A 1 x 1 y= + + + Bài 28. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 31 1 1Ax y z... 5 4,708 168 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm Danh mục Khoa học xã hội ... Đạo hàm cấp cao Giải bài tập bất đẳng thức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki ... kiến thức, vận dụng kiến thức để giải quyết yêu cầu đa dạng của bài toán của học sinh như ở lớp thực nghiệm. Tuy nhiên Bài tập đề nghị Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức ... thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ít được giáo viên và học sinh quan tâm về nhận thức và vận dụng. 3. Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được... 26 2,098 3 Luyện tập về Bất Đẳng Thức Danh mục Trung học cơ sở - phổ thông ... số BTVN-Ôn tập lại các dạng toán của bài. -Bài tập 20 có thể làm theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki với bốn số thực. Em hãy làm lại bài 20 với áp dụng Bất đẳng thức ... hoặc biểu thức. 4. Về ý thức Tự giác, nghiêm túc, có ý thức cao trong việc tự học và tự làm bài tập. II. Chuẩn bị về phương tiện dạy học+ Chuẩn bị các bảng phụ;+ Chuẩn bị các phiếu học tập để ... các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, đối với ba số không âm, và của bốn số không âm chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào? -Bài đọc thêm về Bất đẳng thức... 4 4,322 46 Bài tập củng cố kiến thức lớp 10Unit 1-3+kèm đáp án Danh mục Tiếng anh ... §¸p ¸n bµi tËp cñng cè líp 10 Unit 1-3I-Pronunciation1-B 2-C 3-A 4-D 5-B6-C 7-B 8-C 9-A 10- BII-Choose one best answer1-C 2-B 3-C 4-B 5-B6-D 7-C 8-A 9-A 10- A11-B 12-C 13-A 14-C 15-D16-B ... C-mathematics D-humanity8-A-says B-said C-saint D-salad9-A-breath B-breakfast C-already D-dream 10- A-married B-many C-caculate D-JapanII-Choose the best answer for each of the following sentence1-The ... arrive9-Your windows need … at least once a B-to clean C-being cleaned D-have cleaned 10- I…… much better after I ………the taken B-felt/took C-had felt/took D-had felt/had... 3 15,752 506 Tự chọn chuyên đề Bất đẳng thức lớp 10 Danh mục Toán học ... một trong các bất đẳng thức trên là đúng. đpcm VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường ... cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ A B và E B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B..Nếu... 37 3,717 77 Tài liệu MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC pptx Danh mục Toán học ... 1122f x fa   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán vị 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số ... của n bất đẳng thức trên ta có       1211121 2 31. 1 1 11 1 1 1 nnnnnnnx x xx x xx x x x       xnn-1n Bài 10 ... an Theo bất đẳng thức Holder ta có A2Ba1 + a2 + + an3 = 1 Dễ thấy B =1-a12+ a22+ + an2≤ 1-  21 2 na a a1nnn   do đó 1nAn Đẳng thức xáy... 12 1,747 45 Bài viết này nhắc lại các bất đẳng thức được dùng trong chương trình Toán THCS để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình Toán THCS. Các bài BĐT thường là bài cuối cùng để phân loại học sinh khá giỏi trong các đề tuyển sinh vào cấp 3 môn Toán hoặc trong các kì thi học sinh bất đẳng thức ở cấp 2 được dùng đó làTóm tắt1 1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric Means2 2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bunyakovsky3 3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz4 4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sép5 5. Bất đẳng thức Bernoulli6 6. Bất đẳng thức Netbitt7 7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic Means8 8. Bất đẳng thức Schur9 9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối10 10. Bất đẳng thức Mincopxki1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric MeansVới các bộ số $ \displaystyle{{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}$ không âm ta có $ \displaystyle\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Dạng 2 $ \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Dạng 3 $ \displaystyle {{\left {\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}} \right}^{n}}\ge {{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}$ Dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle {{a}_{1}}={{a}_{2}}=…{{a}_{n}}$Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz BunyakovskyDạng tổng quát Cho $ \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};…{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};…{{b}_{n}}$ là 2n số thực tùy ý khi đóDạng 1 $ \displaystyle a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}\ge {{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}^{2}}$ 1Dạng 2 $ \displaystyle \sqrt{{a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}$ 2Dạng 3 $ \displaystyle \sqrt{{a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}$ 3Dấu “=” xảy ra ở 12 $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$Dấu “=” xảy ra ở 3 $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}\ge 0$Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 03. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT SchwarzCho $ \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};…{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};…{{b}_{n}}$ là các số >0Ta có $ \displaystyle \frac{{x_{1}^{2}}}{{{{a}_{1}}}}+\frac{{x_{2}^{2}}}{{{{a}_{2}}}}+…+\frac{{x_{n}^{2}}}{{{{a}_{n}}}}\ge \frac{{{{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}}}^{2}}}}{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}$Dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{a}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{a}_{2}}}}…=\frac{{{{x}_{n}}}}{{{{a}_{n}}}}$4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sépDạng tổng quát Nếu $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge …\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Hoặc $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le …\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Dạng 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\ge \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}}}{n}$Dạng 2 $ \displaystyle n{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}}\ge {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}$Nếu $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le …\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$hoặc $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge …\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le …\le {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Dạng 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\le \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}}}{n}$Dạng 2 $ \displaystyle n{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}}\le {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}$Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệuBất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các Bất đẳng thức BernoulliVới $ \displaystyle x>-1;r\ge 1\vee r\le 0\Rightarrow {{1+x}^{r}}\ge 1+rx$Nếu $ \displaystyle 1>r>0$ thì $ {{1+x}^{r}}\le 1+rx$Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM6. Bất đẳng thức NetbittỞ đây mình chỉ nêu dạng thường dùngVới x,y,z là các số thực >0Bất đẳng thức Netbitt 3 biến$ \displaystyle \frac{x}{{y+z}}+\frac{z}{{x+y}}+\frac{y}{{x+z}}\ge \frac{3}{2}$Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0BĐT Netbitt 4 biến$ \displaystyle \frac{a}{{b+c}}+\frac{b}{{d+c}}+\frac{c}{{d+a}}+\frac{d}{{a+b}}\ge 2$Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>07. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic MeansNếu $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ là những số thực dương thì$ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \frac{n}{{\frac{1}{{{{a}_{1}}}}+\frac{1}{{{{a}_{2}}}}+…+\frac{1}{{{{a}_{n}}}}}}$Dấu “=” xảy ra khi $ {{a}_{1}}={{a}_{2}}=…={{a}_{n}}$8. Bất đẳng thức SchurDạng thường gặpCho a,b,c là những số không âm$ a+b-cb+c-ac+a-b\le abc$$ {{a}^{r}}a-ba-c+{{b}^{r}}b-ab-c+{{c}^{r}}c-ac-b\ge 0$ với r là số thực dươngĐẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới mọi số thực x,y ta có $ x+y\le x+y$Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay $ xy\ge 0$Với mọi số thực x,y ta có $ x-y\ge x-y$Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ yx-y\ge 0$10. Bất đẳng thức MincopxkiVới 2 bộ n số $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{m}}$ và $ {{b}_{1}},{{b}_{2}},…,{{b}_{m}}$ thì Dạng 1$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\ldots+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}} \geq \sqrt{\lefta_{1}+a_{2}+\ldots+a_{m}\right^{2}+\leftb_{1}+b_{2}+\ldots+b_{m}\right^{2}}$Dạng 2 Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có$\sqrt[4]{a b c}+\sqrt[4]{x y z} \leq \sqrt[4]{a+xb+yc+z} \sqrt{a c}+\sqrt{b d} \leq \sqrt{a+bc+d}$Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển, quy nạp, phản chứng,…3. Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu “=” xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu “=” có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,…4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản điều này vô cùng quan trọng; học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp tức - Tags bất đẳng thức, bđt, THCS20 câu trắc nghiệm ngữ âm tiếng Anh 10 có đáp án20 câu trắc nghiệm phát âm tiếng Anh 6 có đáp án20 câu trắc nghiệm Ngữ Văn 6 có đáp ánHướng dẫn cách giúp trẻ 3 tuổi nhận biết “Một – Nhiều”Hướng dẫn cách giúp trẻ 3 tuổi nhận biết “Dài – Ngắn”Đề cương ôn tập Khoa học lớp 5 cả nămĐề cương ôn tập Địa lý lớp 5 cả năm

bất đẳng thức lớp 10 nâng cao